<t->
          Matemtica
          Ideias e desafios
          8 Ano 
          Ensino Fundamental          
          
          Iracema Mori
          Dulce Satiko Onaga

          Impresso Braille em 10 
          partes, na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          da 15 edio reformulada 
          -- 2009 So Paulo, 
          da Editora Saraiva.

          Primeira Parte

          Ministrio da Educao
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro 
          RJ -- Brasil
          Tel.: (21) 3478-4400
          Fax: (21) 3478-4444
          E-mail: ~,ibc@ibc.gov.br~,
          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2013 --
<p>
          Matemtica: Ideias e Desafios 
          -- 8 ano (Ensino 
          Fundamental)
          Copyright (C) Iracema Mori, 
          Dulce Satiko Onaga, 2009
          Direitos desta Edio:
          SARAIVA S.A. -- Livreiros 
          Editores, So Paulo, 2009 

          Gerente editorial 
          Marcelo Arantes
          Editora 
          Viviane de L. Carpegiani 
          Tarraf 
          Editores assistentes 
          Renato Alberto Colombo Jr.; Rita de Cssia Sam

          Todos os direitos reservados 
          Editora Saraiva 2010
          Rua Henrique Schaumann, 270 
          -- CEP 05413-010 -- Pinheiros 
          -- So Paulo -- SP
          Tel.: PABX (011) 3613-3000 
          Endereo Internet: 
          ~,www.editorasaraiva.com.br~, 
          E-mail: ~,atendprof.didatico@~
          editorasaraiva.com.br~,
<p>
                                I
          Dados Internacionais de 
          Catalogao na Publicao (CIP) 
          (Cmara Brasileira do Livro, 
          SP, Brasil)

 Mori, Iracema
  Matemtica : ideias e desafios, 8 ano /
 Iracema Mori, Dulce Satiko 
  Onaga. -- 15.ed.
 reform. -- So Paulo : Saraiva, 
  2009.
 Edio no consumvel
 Suplementado pelo manual do 
  professor.
 ISBN 978-85-02-08019-5 
  (aluno) 
 ISBN 978-85-02-08020-1 
  (professor)

 1. Matemtica (Ensino 
  fundamental) I. Onaga,
  Dulce Satiko. II. Ttulo.

 09-00909           CDD-372`.7

<P>
          ndices para catlogo 
          sistemtico:

  1. Matemtica : Ensino fundamental 372`.7
<p>
                             III
<R+>
 Iracema Mori

 Bacharel e licenciada em Matemtica pela USP.
 Professora e assessora de Matemtica.

 Dulce Satiko Onaga

 Licenciada em Matemtica pela USP.
 Professora e assessora de Matemtica.
 Membro do Centro de Educao Matemtica.
<R->
<P>
<P>
                                V
 Apresentao

 Caro estudante, 

 "Como aprender Matemtica?" 

  Esta  uma pergunta que voc j deve ter feito a muitas pessoas e a si mesmo. 
  Sabemos que no existe um caminho nico ou melhor para o aprendizado. Para quase tudo que se aprende ao longo da vida  preciso dedicao e persistncia. E isso vale tambm para a Matemtica. 
  Aprender  vivenciar e adquirir experincias,  enfrentar desafios, descobrir coisas novas, buscar conhecimento, querer. Esta coleo se prope a auxili-lo para que seja bem-sucedido nesse aprendizado. 
  Voc  nosso convidado especial nesta tarefa, que ser realizada de modo prazeroso e agradvel. Nesta coleo, algumas abordagens foram feitas por meio da Histria da Matemtica e outras a partir de situaes-problema do cotidiano ou da observao de fenmenos que ocorrem na natureza. Voc notar tambm que a Matemtica  uma cincia dinmica e em constante evoluo. 
  Diante dos desafios que esta coleo lhe prope, voc ser instigado a resolv-los e a desenvolver ideias e conceitos, ampliando seus conhecimentos de maneira estimulante e participativa. Alm disso, ter a oportunidade de explorar as conexes da Matemtica com a realidade e analisar aplicaes em outras reas do conhecimento. 
  Nosso esforo conjunto envolvendo autores, professores e alunos ter valido a pena se voc desempenhar com perseverana o papel que lhe cabe na construo de seu prprio conhecimento.  isso que lhe proporcionar segurana no aprendizado da Matemtica. 

 As autoras 
<p>
                             VII
 Seu livro em Braille

  Este  o livro utilizado em sua classe, produzido em braille para 
voc. Ele contm as mesmas informaes que esto no livro do seu 
colega, porm, enquanto o livro em tinta apresenta ilustraes, cores e 
tamanhos variados de letras (grandes, pequenas, ligadas umas s 
outras, separadas), o seu livro em braille apresenta descries 
substituindo ilustraes e, em muitos casos, figuras so explicadas, 
procurando fazer voc compreender o que elas representam.

  Dicas para estudar no seu livro em braille:

<R+>
 1 -- As pginas mpares deste livro apresentam duas numeraes na 
primeira linha: a que fica  direita  a do prprio livro em braille 
e a que est  esquerda  a do livro em tinta. Por esta, voc pode se 
localizar, de acordo com a orientao do professor, ou quando estiver 
estudando com outros colegas.
 2 -- Quando voc encontrar o sinal _ e, depois dele, uma frase 
terminada pelo sinal _ saiba que se trata de uma explicao especial 
chamada "nota de transcrio", empregada nos livros em braille.
 3 -- Em alguns momentos, voc precisar contar com a colaborao de 
algum; por isto, foi colocada a frase "pea orientao ao professor" 
para sugerir que voc solicite informaes ou esclarecimentos.
 4 -- Sempre que voc encontrar nos textos alguma representao 
grfica ou descrio e tiver dvidas, pergunte a seu professor ou a 
outra pessoa capaz de esclarec-lo.
<R->

<p>
                              IX
 Sumrio Geral

<R+>
<s-)
<F->
Primeira Parte

Unidade 1  

Nmeros, geometria e
  medidas :::::::::::::::::: 1
1 -- Nmeros: reviso :::: 4
Nmeros naturais :::::::::: 5
Nmeros inteiros :::::::::: 6 
Nmeros racionais ::::::::: 8
2 -- Nmeros no 
  racionais :::::::::::::::: 12
Pitgoras e os 
  tringulos retngulos :::: 12
Os nmeros 2 e 5 :::: 13
^p... um nmero muito 
  famoso!!! :::::::::::::::: 26
3 -- Voltando  relao 
  de Pitgoras :::::::::::: 34
A relao de Pitgoras ::: 34
2, 3 e 5 e a 
  representao na reta 
  numerada ::::::::::::::::: 50
4 -- Construes com 
  rgua e compasso ::::::::: 54
Perpendicular a uma reta 
  por um ponto no 
  pertencente a ela :::::::: 54
Mediatriz de um segmento 
  de reta :::::::::::::::::: 58
5 -- Revendo 
  circunferncias e 
  crculos ::::::::::::::::: 65
Circunferncias ::::::::::: 65
Comprimento de uma 
  circunferncia ::::::::::: 75
Arcos ::::::::::::::::::::: 79
Crculos :::::::::::::::::: 81
Leitura + (mais) :::::::: 90
Reviso cumulativa 
  e testes ::::::::::::::::: 92

Segunda Parte

Unidade 2

Nmeros reais ::::::::::::: 109
1 -- Nmeros racionais 
  com infinitos algarismos 
  na forma decimal ::::::::: 111
Dzimas peridicas :::::::: 111
Determinao de uma 
  frao geratriz :::::::::: 115
<P>
                             XI
Calculadoras e 
  memria :::::::::::::::::: 122
2 -- Quadrados e 
  razes quadradas ::::::::: 127
Quadrados perfeitos ::::::: 130
Razes quadradas :::::::::: 140
3 -- Nmeros reais: 
  racionais e 
  irracionais :::::::::::::: 140
Comparao de nmeros 
  reais :::::::::::::::::::: 147
4 -- Tratamento da 
  informao ::::::::::::::: 153
Arredondamento e 
  grficos ::::::::::::::::: 153
Grficos de linha ::::::::: 167
Leitura + (mais) :::::::: 181
Reviso cumulativa 
  e testes ::::::::::::::::: 184

Terceira Parte

Unidade 3

Introduo ao 
  clculo algbrico :::::::: 199
<P>
1 -- Expresses 
  algbricas ::::::::::::::: 202
Valor numrico :::::::::::: 210
Alguns tipos de expresses 
  algbricas ::::::::::::::: 218
Expresses algbricas 
  e medidas :::::::::::::::: 222
2 -- Monmios :::::::::::: 235
Forma reduzida e 
  monmios semelhantes ::::: 239
3 -- Operaes entre
   monmios :::::::::::::::: 245
Adio e subtrao :::::::: 245
Multiplicao e 
  diviso :::::::::::::::::: 252
Potenciao ::::::::::::::: 261
Simplificao de 
  expresses algbricas :::: 263
Leitura + (mais) :::::::: 277
Reviso cumulativa 
  e testes ::::::::::::::::: 279

Quarta Parte

Unidade 4

Polinmios e operaes :::: 289
1 -- Polinmios :::::::::: 291
                           XIII	
Polinmio na forma 
  reduzida ::::::::::::::::: 298
Valor numrico de um 
  polinmio :::::::::::::::: 300
2 -- Polinmio com uma 
  varivel ::::::::::::::::: 306
Grau de um polinmio 
  com uma varivel ::::::::: 310
3 -- Adio e subtrao 
  de polinmios :::::::::::: 316
Adio e subtrao :::::::: 316
4 -- Multiplicao e 
  diviso de 
  polinmios ::::::::::::::: 329
Multiplicao ::::::::::::: 329
Diviso ::::::::::::::::::: 346
Relao entre a 
  multiplicao e 
  a diviso :::::::::::::::: 354
Leitura + (mais) :::::::: 359
Reviso cumulativa 
  e testes ::::::::::::::::: 364
<P>
Unidade 5

Simetria, movimento 
  e padres em 
  Geometria ::::::::::::::: 375
1 -- Simetria :::::::::::: 377
Simetria axial :::::::::::: 377
Simetria central :::::::::: 383
2 -- Movimentos em 
  Geometria ::::::::::::::: 389
Padres geomtricos ::::::: 389
Movimentos :::::::::::::::: 390
3 -- Movimentos e 
  propriedades 
  geomtricas :::::::::::::: 405
4 -- Padres e 
  ladrilhamentos ::::::::::: 419
Leitura + (mais) :::::::: 432
Reviso cumulativa 
  e testes ::::::::::::::::: 433

Quinta Parte

Unidade 6

Produtos notveis, 
  fatorao e fraes 
  algbricas ::::::::::::::: 437
                             XV
1 -- Produtos notveis ::: 441
Quadrado da soma de 
  dois termos :::::::::::::: 441
Quadrado da diferena de 
  dois termos :::::::::::::: 453
Produto da soma pela 
  diferena de dois 
  termos ::::::::::::::::::: 466
Produto do tipo 
  `(x+a`).`(x+b`) :::::::::::::: 473
Cubo da soma de dois 
  termos ::::::::::::::::::: 481
Cubo da diferena de 
  dois termos :::::::::::::: 484
2 -- Fatorao de 
  polinmios ::::::::::::::: 494
3 -- Casos de 
  fatorao :::::::::::::::: 501
Fator comum em 
  evidncia :::::::::::::::: 501
Fatorao por 
  agrupamento :::::::::::::: 507
Fatorao da diferena 
  de dois quadrados :::::::: 516
4 -- Fatorao de 
  trinmios :::::::::::::::: 520
<P>
Trinmio quadrado 
  perfeito ::::::::::::::::: 520
Trinmio do 2 grau :::::: 523
5 -- Fraes 
  algbricas ::::::::::::::: 541
Simplificao de fraes 
  algbricas ::::::::::::::: 543
Mnimo mltiplo comum 
  `(m.m.c.`) ::::::::::::::::: 551
6 -- Operaes com 
  fraes algbricas ::::::: 555
Adio e subtrao :::::::: 555
Multiplicao e diviso ::: 559
Leitura + (mais) :::::::: 564
Reviso cumulativa 
  e testes ::::::::::::::::: 566

Sexta Parte

Unidade 7

Equaes e inequaes ::::: 575
1 -- Equaes do 1 grau 
  e problemas :::::::::::::: 578
Equaes do 1 grau com 
  uma incgnita :::::::::::: 578
Equaes do 1 grau e 
  resoluo de problemas ::: 585
                           XVII
2 -- Equaes 
  fracionrias ::::::::::::: 598
3 -- Equaes literais: 
  resoluo :::::::::::::::: 611
4 -- Inequaes do 
  1 grau com uma 
  incgnita :::::::::::::::: 620
5 -- Princpios das 
  desigualdades :::::::::::: 626
6 -- Inequaes do 
  1 grau: resoluo :::::: 636
Soluo de uma 
  inequao :::::::::::::::: 636
Inequaes equivalentes ::: 640
Resoluo de inequaes ::: 644
Leitura + (mais) :::::::: 667
Reviso cumulativa 
  e testes ::::::::::::::::: 668

Stima Parte

Unidade 8

Retas coplanares e 
  ngulos :::::::::::::::::: 681
1 -- Retas coplanares :::: 682
<P>
Posies relativas de 
  duas retas coplanares :::: 684
2 -- Nomeando pares de 
  ngulos e estabelecendo 
  relaes ::::::::::::::::: 698
ngulos opostos pelo
   vrtice ::::::::::::::::: 698
ngulos adjacentes :::::::: 699
ngulos correspondentes ::: 707
ngulos colaterais :::::::: 709
ngulos alternos :::::::::: 711
3 -- Retas paralelas e 
  ngulos de um 
  tringulo :::::::::::::::: 729
Leitura + (mais) :::::::: 742
Reviso cumulativa 
  e testes ::::::::::::::::: 746

Unidade 9

Polgonos e 
  propriedades ::::::::::::: 752
1 -- Polgonos ::::::::::: 754
Elementos de um 
  polgono ::::::::::::::::: 758
Polgonos convexos :::::::: 763
2 -- Diagonais de um 
  polgono convexo ::::::::: 769 
                            XIX
3 -- Soma das medidas 
  dos ngulos de 
  um polgono :::::::::::::: 782 
Soma das medidas dos 
  ngulos externos ::::::::: 793
4 -- Polgonos 
  regulares :::::::::::::::: 800
Leitura + (mais) :::::::: 808
Reviso cumulativa 
  e testes ::::::::::::::::: 810

Oitava Parte

Unidade 10

Sistemas de equaes :::::: 819
1 -- Equao do 1 grau 
  com duas variveis ::::::: 822
Representao geomtrica 
  das solues ::::::::::::: 830
2 -- Sistemas de 
  equaes do 1 grau 
  com duas variveis ::::::: 841 
Sistemas de equaes :::::: 841
Resoluo de sistema de 
  equaes ::::::::::::::::: 843
Leitura + (mais) :::::::: 860
Reviso cumulativa 
  e testes ::::::::::::::::: 862

Unidade 11

Tringulos e 
  quadrilteros :::::::::::: 875
1 -- Construo de 
  tringulos ::::::::::::::: 877
2 -- Tringulos e 
  propriedades ::::::::::::: 882
Mediana de um 
  tringulo :::::::::::::::: 890
Altura de um tringulo :::: 892
Bissetriz de um 
  tringulo :::::::::::::::: 895
3 -- Tringulos: 
  movimentos e 
  congruncia :::::::::::::: 906
Casos de congruncia 
  entre tringulos ::::::::: 910
Outros casos de 
  congruncia de
   tringulos :::::::::::::: 919
4 -- Tringulos 
  issceles, equilteros 
  e suas propriedades :::::: 932
<P>
                            XXI
Mediana, altura e 
  bissetriz de um 
  tringulo issceles :::::: 945

Nona Parte

5 -- Quadrilteros e 
  propriedades ::::::::::::: 959
Paralelogramos :::::::::::: 959
Losangos :::::::::::::::::: 969
6 -- Retngulos e 
  quadrados :::::::::::::::: 974
Leitura + (mais) :::::::: 998
Reviso cumulativa
   e testes :::::::::::::::: 1001

Unidade 12

Noes de 
  Estatstica ::::::::::::: 1014
1 -- Organizao de 
  informaes :::::::::::::: 1018
Distribuio por 
  frequncias :::::::::::::: 1020
Frequncia relativa ::::::: 1026
2 -- Outros tipos de 
  frequncia ::::::::::::::: 1036
Leitura + (mais) :::::::: 1054
Reviso cumulativa
  e testes ::::::::::::::::: 1056

Dcima Parte

Respostas ::::::::::::::::: 1063
Indicaes de leituras  
  complementares para os 
  alunos ::::::::::::::::::: 10190
<F+>
<s+>
<R->

<P>
                           XXIII
 Nota de transcrio

  I. Conforme o Cdigo Matemtico Unificado para a Lngua 
Portuguesa -- CMU, pginas 39 e 53, as fraes podem ser escritas, em 
braille, das seguintes maneiras:

<R+>
 A) "O numerador, precedido de sinal de nmero, escrever-se- na 
parte inferior da cela braille e o denominador na parte superior, 
este ltimo sem sinal de nmero."

 Exemplo: #:d (trs quartos).

 B) Utilizando-se o trao de frao, representado pelos pontos (256)  

 Exemplo: 34 (trs quartos).

<p>
 C) Utilizando-se o trao de frao, representado pelos pontos `(#e#bef`) ~

 Exemplo: #:d~5 (trs quartos sobre cinco).
<R->

  Neste livro em braille, estas formas de representao sero 
aplicadas de acordo com a necessidade do contedo.

  II. Ao longo do livro, o smbolo wr aparece para o aluno refletir.

<6>
<ti. d. mat. 8 ano>
<T+1>
<R+>
 Unidade 1 

 Nmeros, geometria e medidas

<R+>
_`[{o contedo desta unidade, bem como as atividades propostas, so predominantemente visuais. Para melhor aproveitamento, pea orientao ao professor_`]

_`[{foto de uma construo antiga com vrias colunas iguais_`]

 Se o raio da base de uma dessas colunas medir 18 m, o permetro dessa base ser, aproximadamente, 113,09457 m.
<R->

  H algum tempo sabe-se que uma circunferncia, cuja medida dos raios  um nmero racional, tem a medida de seu comprimento representada por um nmero no racional.
<7>
  Os tringulos retngulos j eram conhecidos no antigo Egito. Os especialistas em demarcar terras, chamados de estiradores de corda, usavam esses tringulos para obter um ngulo reto. 
  Os ngulos retos eram construdos com cordas que eram divididas em 13 ns amarrados em intervalos iguais.
  Ao fixar uma corda com 13 ns, como mostra a figura, temos um tringulo retngulo:

_`[Figura adaptada_`]
 Legenda:
 o: representa um n

<F->
  o
  l  e
  l   o
  o    e
  l      o
3l        e 5
  l         o
  o          e
  l            o
  l              e
  o::o::o::o::o
         4      
<F+>
<P>
  Pitgoras e seus discpulos, ao estudar essa propriedade dos tringulos retngulos, descobriram que as medidas de muitos comprimentos resultavam em nmeros no racionais.

<F->
   r
   l ^
1ul   ^ 
   l     ^
   l       ^
   l         ^
   v-----------"
        3u
<F+>

<R+>
 Em um tringulo como esse, a medida da hipotenusa ser um nmero no racional.
<R->

  Necessidades humanas, como a prtica da medio, apontaram a inexistncia de nmeros que representassem com exatido a medida de alguns comprimentos. Os nmeros racionais, j estudados em livros 
<P>
 anteriores, no so suficientes para resolver certos problemas, como, por exemplo, o clculo da medida da hipotenusa de alguns tringulos retngulos.
  Nesta unidade, vamos resolver situaes-problema que esto vinculadas a Geometria e Medidas, cujas solues so dadas por nmeros no racionais.
<R+>
  Descreva algumas caractersticas de um tringulo retngulo, como os seus lados so denominados e comente suas propriedades.
  Faa uma lista de palavras que esto associadas a uma circunferncia.
<R->

<8>
 1 -- Nmeros: reviso

  Estamos cercados de nmeros por todos os lados: horrios, estatsticas, impostos, distncias, velocidades, recordes de jogos, despesas, entre outras possibilidades.
  Os nmeros so utilizados em diversas situaes do dia a dia e possuem diferentes finalidades.
<R+>
 wr
  Que tipo de nmeros voc conhece?
  Descreva algumas situaes do dia a dia em que so utilizados os nmeros que voc citou.
<R->

 Nmeros naturais

  A necessidade de contar surgiu com o desenvolvimento de algumas atividades humanas e, em decorrncia dessa necessidade, foram criados os nmeros naturais, que podem ser representados pela sequncia:

 0, 1, 2, 3, ... ou _n=~l0, 
  1, 2, 3, ..._,

  Um conjunto numrico muito utilizado  o conjunto dos nmeros naturais sem o zero, tambm chamado de conjunto dos nmeros naturais positivos, representado por _n*.

 _n*=~l1, 2, 3, ..._,

  Com os nmeros naturais  possvel efetuar a adio e a multiplicao. Para essas operaes existem as propriedades associativa e comutativa, alm do elemento neutro (0 para a adio e 1 para a multiplicao). H tambm a propriedade distributiva da multiplicao em relao  adio.
  No entanto, a subtrao entre dois nmeros naturais  uma operao que nem sempre pode ser efetuada, pois a diferena pode ou no ser um nmero natural. Por exemplo: 6-9 no tem resultado em _n.

 Nmeros inteiros

  A sequncia de nmeros inteiros  formada por nmeros inteiros negativos, pelo zero e por nmeros inteiros positivos e pode ser representada como:
<P>
 ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 
   3, ... ou _z=~l..., -3, 
   -2, -1, 0, 1, 2, 3, ..._,

  Quando o conjunto dos nmeros inteiros no inclui o zero, ele  representado por:

 _z*=~l..., -3, -2, -1, 1, 2, 
  3, ..._,.

<9>
  Com os nmeros inteiros podemos sempre adicionar, multiplicar e subtrair. Tanto na adio quanto na multiplicao so vlidas as mesmas propriedades mencionadas para os nmeros naturais.
  No entanto, o quociente entre dois nmeros inteiros nem sempre  um nmero inteiro. Por exemplo, o quociente de 12 por 5 no faz parte de _z. A necessidade de obter um resultado para uma diviso no exata levou  criao de novos nmeros: os chamados nmeros racionais.

 Nmeros racionais

  So considerados nmeros racionais todos aqueles que podem ser escritos na forma de frao a~b, em que *a* e *b* so nmeros inteiros, com b=0. Ou seja, so os quocientes de dois nmeros inteiros com divisor diferente de zero.

 -3; -#:d; -0,008; 0; 1,38; 
  5,76 ..., por exemplo, so 
  nmeros racionais.

  O conjunto dos nmeros racionais  indicado como:

 _q=~la~b, a,_z e b,_z*_, 

  Para a adio e a multiplicao com nmeros racionais so vlidas todas as propriedades estudadas para os nmeros inteiros.
  Os nmeros que no podem ser escritos na forma de frao, ou 
<P>
 seja, os no racionais, sero estudados a seguir.

 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 1. Esta sequncia numrica varia de 7 em 7, a partir do nmero 1, e tem infinitos termos:

 1, 8, 15, 22, 29, 36, ...

 a) Determine o oitavo e o nono termo dessa sequncia, mantendo a regularidade observada.
 b) Se dividirmos os nmeros dessa sequncia, a partir do 8, por 7, qual deve ser o resto dessa diviso?
 c) Os nmeros que compem essa sequcia so mltiplos de qual nmero?
<P>
 2. A forma decomposta em potncias de 10 de um nmero natural  representada por:

 2.104+1.103+9.102+4.
  .10+7

 Qual  esse nmero?
 3. Que frao  equivalente a #;;g e possui denominador 28?
 4. Em um concurso participaram 3.528 candidatos, dos quais #?f foram aprovados. Quantos candidatos foram reprovados?
 5. As expresses `(-13545`)3 e -135`(453`) so iguais? Justifique sua resposta.

 6. Em cada uma destas igualdades foi aplicada uma das propriedades das operaes dos nmeros inteiros. Indique qual a propriedade empregada em cada item.
 a) -5.4.`(-6`)`]=`[`(-5`).
  .4`].`(-6`)
 b) `(+46`)+`(-342`)=`(-342`)+
  +`(+46`)
 c) `(-47`).1=1.`(-47`)
 d) 3.`(13+4`)=3.13+3.4

 7. Um papelo tem aproximadamente 910-3 cm de espessura. Escreva essa medida na forma decimal.
 8. Ao dividir o quadrado de 0,4 por 0,08, qual  o nmero que se obtm? Esse nmero  um nmero inteiro?
 9. Ao efetuar a adio com os nmeros 34,46 e -23,9, o resultado  um nmero maior ou menor que 10?
 10. Resolva esta expresso numrica e escreva o resultado na forma de frao:

 -3,5+40,8-1,2`(-0,4`)
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<10>
<P>
 2 -- Nmeros no racionais

 Pitgoras e os tringulos 
  retngulos

  Pitgoras nasceu na ilha de Samos, na Grcia, no sculo VI a.C. Do pouco que conhecemos sobre sua vida, sabemos que ele fundou a Escola Pitagrica, cuja existncia durou quatro ou cinco sculos.
  Os nmeros inteiros exerciam um grande fascnio em Pitgoras e seus discpulos: eles acreditavam que toda a harmonia, beleza e natureza podiam ser expressas por relaes entre nmeros inteiros.

<R+>
_`[{mapa *Grcia Antiga* no adaptado_`]
<R->

  Uma dessas relaes  verificada entre as medidas dos lados de um tringulo retngulo.
<P>
<F->
   
   le
   l  e
   l    e
   l      e a
 b l        e
   l          e
   r:::       e
   l_- _         e
   v---#-----------o 
           c  
<F+>

 Relao de Pitgoras:
  a2=b2+c2

 Os nmeros 2 e 5

  Ao resolver um problema relacionado  medida da diagonal de um quadrado com lados que medem 1 unidade, Pitgoras e seus discpulos descobriram um nmero que acharam muito estranho. Vamos conhec-lo.
<P>
  Para calcular a medida da diagonal de um quadrado de 1 m de lado, Andr aplicou a relao de Pitgoras e obteve 2 m.

_`[{o menino pensa_`]
  "`(...`)2=2"

<F->
A         D
!:::::::::::
l         a_
l       a  _
l2 ma   _ 1 m
l    a     _
l  a       _
la         _
h:::::::::::j
B         C
<F+>

<R+>
 wr
  Qual  o valor aproximado de 2 com as duas casas decimais?
<R->

<11>
  Para se ter uma ideia do valor de um nmero que elevado ao quadrado seja igual a 2, podemos utilizar uma reta numerada.

_`[{a menina diz_`]
  "2 no  um nmero inteiro. 2 est entre 1 e 2."

<F->
::r:::::::::r:::r:::
  0  1  2  3  4 :> nmeros
  0  1  4  9  16 :> quadrados
<F+>

 2 est entre 1 e 4

_`[{a menina diz_`]
  "Observe o quadrado de alguns nmeros entre 1 e 2 com uma casa decimal."

 Os quadrados so menores que 2.
 `(1,1`)2=1,21
 `(1,2`)2=1,44
 `(1,3`)2=1,69 
 `(1,4`)2=1,96
 
 O quadrado  maior que 2.
 `(1,5`)2=2,25 
<P>
  Repetimos vrias vezes o mesmo procedimento:

 12=1
 `(1,4`)2=1,96
 `(1,41`)2=1,9881
 `(1,414`)2=1,999396
 `(1,4142`)2=1,99996164

 22=4
 `(1,5`)2=2,25
 `(1,42`)2=2,0164
 `(1,415`)2=2,002225
 `(1,4143`)2=2,00024449

<R+>
 1,99996164 e 2,00024449 -- Os quadrados destes nmeros vo se aproximando de 2.
 2 est entre 1,4142 e 1,4143.
<R->

  Observe a sequncia _`[no adaptada_`] de quadrados em que representamos os valores cada vez mais prximos de 2:

 2 est entre 1 e 2.
 2 est entre 1,4 e 1,5.
<P>
 2 est entre 1,41 e 1,42.
 2 est entre 1,414 e 1,415.

<12>
  Podemos dizer que:
<R+>
  2  aproximadamente igual a 1,414, com trs casas (ou ordens) decimais, mas 1,414  menor que 2.
  2  aproximadamente igual a 1,415, com trs casas decimais, mas 1,415  maior que 2.
<R->

  Se utilizarmos uma calculadora, veremos que 2=1,4142135. Mas, em uma mquina com mais dgitos, observamos que 2 no tem apenas sete casas decimais, tem muito mais!
  Alm disso,  possvel verificar que 2 no  uma dzima peridica, pois no h um grupo de algarismos que se repete periodicamente, mas isso no ser justificado aqui.
  Como podemos observar, existem outros tipos de nmeros alm daqueles que j conhecemos: o nmero 2 no  nem um nmero inteiro nem um nmero racional.
  Observe o tringulo retngulo {a{b{c:

<F->
   A
   
   le
   l  e
   l    e
   l      e x
1 l        e
   l          e
   r:::       e
   l_- _         e
   v---#-----------o 
   B       2    C
<F+>

<R+>
 No tringulo {a{b{c: ^c?{a{c*  a hipotenusa e ^c?{a{b* e ^c?{b{c* so os catetos.

 wr
  Qual  a medida da hipotenusa desse tringulo?
<R->
<P>
  Ao aplicar a relao de Pitgoras, obtemos: x2=12+22=
 =1+4=5

_`[{o menino diz_`]
  "Mas nesse caso a medida da hipotenusa seria um nmero cujo quadrado  5!!!"

  De fato, a medida da hipotenusa no tringulo dado  5, como podemos verificar ao aplicar a relao de Pitgoras:
<P>
<F->
     A
     
     le
     l  e
     l    e
     l      e 5 u
1 u l        e
     l          e
     r:::       e
     l_- _         e
     v---#-----------e 
     B       2 u  C
<F+>

 12+22=`(5`)2
 1+4=5  

_`[{o professor diz_`]
  "Esta sentena  verdadeira."

<13>
  Podemos utilizar uma calculadora e obter um valor aproximado de 5. Ao apertar as teclas 5 e , nessa ordem, se a calculadora exibir no mximo oito dgitos, no visor aparecer: 2,2360679.
<P>
_`[{o menino diz_`]
  " um nmero decimal no exato!!!"

_`[{a menina diz_`]
  "E no  uma dzima peridica!!!"

 5^=2,2360679...

  Nas calculadoras que exibem mais dgitos, podemos observar que 5 no tem apenas sete casas decimais aps a vrgula. Esta tabela mostra valores aproximados para 5 com 7, 8, 9, 10 e 31 casas decimais:

<R+>
<F->
_`[{tabela adaptada em duas colunas; contedo a seguir_`]
1 coluna: Nmero de casas decimais aps a vrgula
2 coluna: Valor aproximado para 5
<P>
7; 2,2360679
8; 2,23606798
9; 2,236067977
10; 2,2360679775
11; 2,23606797750
12; 2,236067977500
31; 2,236067977499789696409173~
  ffhgcac 
<F+>
<R->

  Podemos verificar que os valores obtidos para 5 so aproximados, ao calcular o quadrado desses valores.
  Para `(2,2360679`)2, com o valor aproximado 2,2360679 que apareceu no visor da calculadora ao calcular 5, digitamos **, *=*. No visor da calculadora, poder aparecer o valor 4,9999996, que  prximo de 5.
  Usando uma calculadora que exibe 12 dgitos, um valor aproximado de 5  2,23606797750. Expressamos esse valor aproximado por meio do smbolo ^=. Assim, 5^=2,23606797750.
<P>
  Nesse caso, `(2,2360679775~
 j`)2^=5,00000000000094050625.
  Ao longo da histria, os matemticos chegaram  concluso de que, por melhor que seja a aproximao do nmero racional 5, ao elevar esse nmero ao quadrado, nunca obteremos 5.
  Ao calcularmos o quadrado de um valor aproximado de 5, se a calculadora der 5 como resposta, isso significa que o processador numrico da mquina fez um arredondamento.

<14>
 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 11. Neste tringulo retngulo, as medidas esto em centmetros. Qual  a medida da hipotenusa?
<P>
<F->
      R
      *a       
     *   a  
 2 *      a 3
   *         a  
  *            a
 ---------------o
 S             T
<F+>

 12. Um dos catetos de um tringulo retngulo mede 5 cm e a hipotenusa, 34 cm. Quanto mede o outro cateto?

 13. Desenhe um tringulo retngulo cujos catetos medem 3 cm e 1 cm.
 a) Qual  o nmero no racional que expressa a medida da hipotenusa desse tringulo retngulo? Justifique sua resposta.
<P>
 b) Com uma calculadora, obtenha um valor aproximado com duas casas decimais desse nmero no racional.
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 Usando a calculadora

<R+>
  Determine valores aproximados das razes quadradas:
 a) 3
 b) 6 
 c) 10 
 d) 412
<R->

 Seo + (mais)

 Teorema de Pitgoras e um caso 
  particular

_`[{o professor diz_`]
  "Se desejar, construa esta figura em cartolina e recorte-a."

<R+>
 Observe esta figura _`[no adaptada_`]:
  Que tipo de polgono  {c{d{e{a? E {a{f{g{b?
  Em que figuras eles foram decompostos?
  Qual  a rea de {c{d{e{a? E de {a{f{g{b? E de {i{c{b{h?
  Ao recortar os tringulos 1, 2, 3 e 4,  possvel compor o quadrado {i{c{b{h?
  O que podemos concluir ao final desta atividade?
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<15>
 ^p... um nmero muito famoso!!!

  Que distncia percorre uma bicicleta quando uma de suas rodas d uma volta completa?
  Qual deve ser o tamanho do pneu para que possa se ajustar a uma determinada roda?
<P>
  Estes so alguns dos problemas com os quais nos deparamos no dia a dia, cuja soluo envolve o nmero ^p. Porm esse nmero no  conhecido com exatido, pois sua representao decimal tem infinitas ordens decimais e no  uma dzima peridica.

_`[{a menina diz_`]
  "^p leia pi".

<R+>
 wr
  Este disco _`[no adaptado_`] tem 2 cm de raio. Aps dar uma volta completa com ele sobre uma reta, quantos centmetros percorreremos?
  Qual , aproximadamente, o quociente entre a medida desse percurso e o dimetro desse crculo?
<R->

_`[{um casal pensa_`]
  "Como medir uma volta?"

<16>
<P>
  Observe as solues que Caio e Rute encontraram. 
  Ele marcou inicialmente um ponto M no disco circular _`[no adaptado_`]. Em seguida, desenhou uma reta e marcou nela um ponto que chamou de P. Colocou o ponto M sobre P e comeou a rolar o disco.
  Quando o ponto M tocou novamente a reta, Caio marcou um ponto R. O segmento de reta {p{r _`[no adaptado_`] corresponde ao percurso de uma volta completa do disco.
  A medida de ^c?{p{r*,  o permetro ou comprimento da circunferncia que contorna esse disco circular. Na soluo de Caio, o comprimento da circunferncia foi de aproximadamente 12,5 cm.

_`[{caio diz_`]
  "Se o raio mede 2 cm, o dimetro mede 4 cm, divido 12,5 por 4."
<P>
 12,54,0=3,125

<R+>
 Em uma calculadora, aperte as teclas na sequncia...
<R->

 1 2 ponto 5  4 =

  Caio obteve o quociente:

<R+>
 comprimento de uma circunferncia ~ medida de um dimetro dessa circunferncia =12,5~4=3,125
<R->

_`[{rute diz_`]
  "... Ah!!! Eu tenho um pedao de barbante..."

  Rute colou o disco circular em uma folha de papel e o contornou com um pedao de barbante, at dar uma volta completa. Ela esticou o pedao de barbante e mediu.
<17>
  Veja como ficou uma volta completa:

_`[{rgua com o barbante marcando 
  12,6_`]

  Para Rute, 12,6 cm  o comprimento da circunferncia, que tem 2 cm de raio e, portanto, 4 cm de dimetro. Rute dividiu 12,6 por 4 e obteve 3,15.

 12,64,0=3,15

<R+>
 Em uma calculadora, aperte as teclas na sequncia...
<R->

 1 2 ponto 6  4 =

  Rute obteve o quociente:

<R+>
 comprimento de uma circunferncia ~ medida de um dimetro dessa circunferncia =12,6~4=3,15
<R->

  Esta circunferncia _`[no adaptada_`] tem, aproximadamente, 15,71 cm de permetro.

_`[{a professora diz_`]
  "*O*  o centro."
<P>
<R+>
 wr
  Calcule o quociente entre o permetro dessa circunferncia e o comprimento de um dos seus dimetros.
<R->

  Efetuando os clculos com os dados do problema, temos:

_`[{a professora diz_`]
  "Um raio mede 2,5 cm. E um dimetro, 5 cm. Dividimos 15,71 por 5."

 15,715,00=3,142

 Em uma calculadora, aperte as 
  teclas na sequncia...

 1 5 ponto 7 1  5 =

  O quociente entre o comprimento da circunferncia e a medida de um dimetro vale:
<P>
<R+>
 comprimento de uma circunferncia ~ medida de um dimetro dessa circunferncia =15,71~5=
  =3,142
<R->

<18>
  Em resumo, nessas situaes, ao dividirmos o comprimento de uma circunferncia pela medida de um dimetro, encontramos os seguintes quocientes:

 3,125; 3,15; 3,142.

  Comparando esses quocientes, percebemos que, embora no sejam iguais, so muito prximos. O nmero ao qual os matemticos deram o nome de ^p tem um valor prximo a esses quocientes.

_`[{a professora diz_`]
  "Perceberam a importncia do nmero ^p?"

_`[{o menino diz_`]
  "Mas que nmero  esse?"
<P>
_`[{a menina diz_`]
  "Como podemos calcular o valor de ^p?"

  ^p  o quociente obtido na diviso do permetro ou comprimento de uma circunferncia pela medida de um dimetro.  um nmero decimal com infinitas casas decimais em sua representao decimal e no  uma dzima peridica.
  ^p tambm  um nmero no racional.

<R+>
 ^p= comprimento de uma circunferncia ~ medida de um dimetro dessa circunferncia
<R->

  Podemos usar letras para representar as medidas:
<R+>
 c -- comprimento de uma circunferncia;
 d -- medida de um dimetro dessa circunferncia.
<R->
<P>
_`[{a professora diz_`]
  "Veja como fica a frmula para calcular o nmero ^p."

 ^p=c~d

 wr
<R+>
  O nmero ^p  o quociente aproximado entre duas medidas relacionadas a uma circunferncia. Que medidas so essas?
  Apresente dois valores aproximados para ^p.
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<19>
 3 -- Voltando  relao de 
  Pitgoras

 A relao de Pitgoras

  Os tringulos retngulos tm sido importantes para os povos desde a Antiguidade. Ao estudar essas figuras geomtricas, foram descobertas algumas propriedades. Dentre elas, as mais aplicadas so as que analisaremos a seguir.
  Um emissor de televiso tem 40 m de altura do ponto T ao ponto O e est fixado, por cabos de ao de 50 m, no topo e no solo.
  A extremidade de um dos cabos que se encontra no solo est a 30 m do ponto O, na base do emissor.

 wr
<R+>
  Qual  o quadrado do nmero que representa a medida do segmento de reta {t{v?
  Calcule `(402+302`) e compare o resultado que voc obteve com o quadrado do nmero obtido na questo anterior.
<R->

  Observe que o tringulo {t{o{v  retngulo em O. Os lados ^c?{o{t* e ^c?{o{v* so chamados de catetos e o lado ^c?{t{v*  a hipotenusa.
<P> 
<F->
        T
        
        le
        l  e
        l    e
        l      e Hipotenusa
Cateto l        e
        l          e
        r:::       e
        l_- _         e
        v---#-----------e 
        O   Cateto   V
<F+>

  Vamos fazer alguns clculos com as medidas desses lados:
 
 `(med ^c?{o{t*`)2+`(med 
  ^c?{o{v*`)2=402+302=
  =1.600+900=2.500=502=
  =`(med ^c?{t{v*`)2

 `(med ^c?{o{t*`)2+`(med 
  ^c?{o{v*`)2=`(med ^c?{t{v`)2
 `(medida do cateto`)2+`(medida do 
  cateto`)2=`(medida da hipotenu-
  sa`)2
<P> 
  Podemos demonstrar que:

<R+>
 Em um tringulo retngulo, a soma dos quadrados das medidas dos catetos  igual ao quadrado da medida da hipotenusa. Essa  a relao de Pitgoras e  vlida para todos os tringulos retngulos.
<R->

<20>
  A demonstrao dessa relao ser feita posteriormente.

_`[{a menina diz_`]
  "Eu desenhei estes tringulos."
<P>
<F->
        M
        
        le
        l  e
        l    e
        l      e 13 u
 12 u  l        e
        l          e
        r            e
        l             e
        v---------------o 
        N     5 u     O

            B
             
          i  
        i     7 u 
 8 u i        
    i           
  i              
i-----------------e 
A      9 u      C
<P>
F
e.
 ? e.
  ?   e.
   ?    e.12 u
7 u?     e. 
     ?      e.
      ?       e.
       ?--------o
       E 8 u D
<F+>

<R+>
 wr
  No tringulo {m{n{o, a igualdade 52+122=132  verdadeira?
  No tringulo {a{b{c, a igualdade 72+82=92  verdadeira?
  No tringulo {d{e{f, a igualdade 72+82=122  verdadeira?
  Utilize um transferidor para medir o maior ngulo de cada um 
<P>
  dos tringulos. Qual deles tem o maior ngulo com medida 90?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<R->

  Observe os clculos efetuados com os dados apresentados na situao anterior:

<R+>
 Tringulo {m{n{o
 52+122=132
 25+144=169
 169=169
 52+122=132
 A igualdade  verdadeira. E o maior ngulo mede 90.

 Tringulo {a{b{c
 62+82=92
 36+64=81
 100=81
 62+82=92
 A igualdade no  verdadeira. E o maior ngulo mede menos que 90.

 Tringulo {d{e{f
 72+82=122
 49+64=144
 113=144
 A igualdade no  verdadeira. E o maior ngulo mede mais que 90.
<R->

<21>
  No tringulo {m{n{o verificamos que a soma dos quadrados das medidas dos catetos  igual ao quadrado da medida da hipotenusa e o maior ngulo mede 90. 
   possvel mostrar a validade da afirmao a seguir:

<R+>
 Se para as medidas *a*, *b* e *c* dos lados de um tringulo  vlida a relao a2=b2+c2, ento o tringulo  um tringulo retngulo.
<R->

  Esse caminho inverso da relao de Pitgoras  chamado de recproco da relao.
<P>
 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 14. O tringulo representado a seguir  retngulo? Verifique fazendo os clculos.

<F->
       C
       
       la
       l  a
       l    a
       l      a 26 cm
10 cm l        a
       l          a
       l            a
       l              a
       v-----------------o 
       A     24 cm    B
<F+>

 15. Como se aplica a relao de Pitgoras no tringulo retngulo {s{u{o?
<P>
<F->
               O
                
             i  
           i      12 cm
  16 cm i        
       i           
     i              
   i-----------------e 
  S      20 cm     U
<F+>

 16. Desenhe um tringulo retngulo como este. A partir de cada cateto construa um quadrado cujo lado tenha a mesma medida do cateto. Faa o mesmo com a hipotenusa. O que ocorre com as reas desses quadrados?
<P>
<F->
    3   A
!::::::?
l  _  _  _  ?
r::w::w::w    ? 5
l  _  _  _3    ?
r::w::w::w        ?
l  _  _  _          ?
h::j::j::j:::::::::::e 
    3   B    4   C   
<F+>
<R->

_`[{o menino diz_`]
  "Um quadrado j est construdo."

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<R+>
 17. Verifique se a sentena a seguir  verdadeira. Como poder ser classificado em relao aos ngulos um tringulo {c{a{m com med {c{a=2,5 cm, med {a{m=6 cm e med {m{c=6,5 cm?

 2,52+62=6,52
<P>
 18. Observe estes tringulos:

<F->
              X
             a?
           a   ?
  36 cm a      ?
       a         ? 15 cm
     a            ?
   a               ?
 a                  ?
---------------------o
Y        39 cm     Z

          M
         *a       
        *   a  
12 cm *      a 18 cm
      *         a  
     *            a
    ---------------o
    P    15 cm   N
<F+>

 a) No tringulo {x{y{z calcule:
  `(med ^c?{x{z*`)2+`(med ^c?{x{y*`)2
  `(med ^c?{y{z*`)2
<P>
 b) No tringulo {m{n{p calcule:
  `(med ^c?{p{m*`)2+`(med ^c?{n{p*`)2
  `(med ^c?{m{n*`)2
 c) Compare os clculos que voc fez. Que expresses podem ser escritas para cada tringulo usando as medidas de seus lados?
 d) Como podem ser classificados esses tringulos em relao aos seus ngulos?

 19. Se a soma dos quadrados das medidas de dois dos lados de um tringulo  igual ao quadrado da medida do terceiro lado, de que tipo  esse tringulo em relao a seus ngulos?
<R->

<22>
 Troque ideias e resolva

  Para construir uma quadra, um pedreiro amarrou fios de *nilon* em estacas e tentou fazer um retngulo com lados de medidas 30 m e 40 m. Para verificar se o re-
<P>
 tngulo estava bem-feito, ele mediu a diagonal e obteve 62 m.
<R+>
  A figura feita pelo pedreiro  realmente um retngulo? Justifique sua resposta.
<R->

 Usando a calculadora

  No paralelogramo {a{b{c{d representado a seguir, o lado ^c?{a{b* mede 34 cm e o lado ^c?{b{c*, 25,5 cm. A diagonal ^c?{a{c* de 42,5 cm divide o paralelogramo em dois tringulos.

<F->
C        D
!::::::::::
l        _
l      _
l    _
l  _
l_
hggggggggggj
B        A
<F+>
<P>
<R+>
  Esse paralelogramo  um retngulo? Justifique sua resposta em seu caderno.
<R->

 A relao de Pitgoras e o 
  traado de retas perpendiculares

  O recproco da relao de Pitgoras permite traar retas perpendiculares. Observe como traar por um ponto de uma reta uma perpendicular a ela.
 
<R+>
 Com rgua e compasso, vamos traar pelo ponto A, pertencente  reta *r*, uma reta perpendicular a *r*.

<F->
r ::::::o::::::::::: 
        A
<F+>

 Desenhamos um tringulo com lados que medem 3 unidades, 4 unidades e 5 unidades, que ser um tringulo retngulo, da seguinte forma: 32+42=52
<P>
  na reta *r* marcamos o ponto B, de modo que med ^c?{a{b*=3 unidades.

<F->
r :::o:::o:::o:::o:::o:::o::
     A     3u     B
<F+>

 Com a ponta-seca do compasso:
  em A e abertura igual a 4 unidades, traamos uma linha;
  em B e abertura igual a 5 unidades, traamos outra linha, at que cruze com a primeira. O ponto C  a interseco das duas linhas.
<R->

<23>
  O tringulo {a{b{c  um tringulo retngulo.
  A reta {a{c  perpendicular  reta *r*, pelo ponto A, pois  a reta suporte do cateto ^c?{a{c*.
<P>
<F->
   l
   l
   l 
C le
   l e
   l   e 5
4 l     e
   l      e
   r:::    e
   l_- _      e
---v---#---#---o---#---#-- r 
 Al     3    B
   l
   l
<F+>

 2, 3, 5 e a representao 
  na reta numerada

  2, 3 e 5 so nmeros cuja representao decimal tem infinitas casas decimais e no so dzimas peridicas, ou seja, no so nmeros racionais, mas podem ser representados na reta numerada. Observe.
<R+>
  Construmos um tringulo retngulo _`[no adaptado_`] com um vrtice no ponto zero e com catetos que tenham como medida 1 u, por exemplo. Como sabemos, a hipotenusa medir 2 u. Marcamos essa medida na reta numerada a partir do ponto zero, obtendo, assim, a representao do nmero 2. Veja:
  Aproveitamos a construo e traamos um tringulo retngulo com um dos catetos medindo 2 u e outro medindo 1 u. Nele, a hipotenusa medir 3 u. Podemos representar o nmero 3 na reta numerada.
<24>
  Repetimos o processo at conseguirmos um tringulo retngulo com hipotenusa medindo 5 u e representamos o nmero 5 na reta numerada, marcando um ponto na reta que est a 5 u do ponto zero.
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<P>
 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
_`[{para as atividades de 20 a 23, pea orientao ao professor_`]

 20. Utilizando rgua e compasso, desenhe um tringulo retngulo com catetos que medem 6 cm e 8 cm. Qual  a medida da hipotenusa desse tringulo?
 21. Construa um segmento de reta de medida 6 cm e represente o nmero 6 em uma reta numerada.
<R->

_`[{o menino diz_`]
  "Posso comear com um tringulo retngulo com catetos medindo 5 cm e 1 cm."

<R+>
 22. Observe o nmero 6 na reta numerada que voc construiu na atividade 21 e responda:
<P>
 a) Qual  o valor do nmero -6?
 b) Qual  o ponto que representa o nmero -6?

 23. Represente o nmero 10 na reta numerada das atividades 21 e 22.
<R->

 Troque ideias e resolva

  Na reta numerada _`[no adaptada_`], 1  abscissa do ponto A e o ponto E  o simtrico do ponto D em relao ao ponto zero.
<R+>
  Quais so as abscissas dos pontos B, C, D e E, respectivamente?
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

               ::::::::::::::::::::::::

<25>
<P>
4 -- Construes com rgua
  e compasso

 Perpendicular a uma reta por um 
  ponto no pertencente a ela

  O traado da perpendicular a uma reta, por um ponto que no pertence  reta, no envolve a relao de Pitgoras.
  Nesse caso, abrimos o compasso de modo que, ao traarmos um arco, com a ponta-seca em P, ele cruze a reta *r* em dois pontos: A e B, que esto a mesma distncia do ponto P. Obtemos, assim, um segmento de reta {a{b na reta *r*.

<F->
            P
            o
             
                       
                               
                
r :::::o::::::::o:::::
       A        B
<F+>
<P>
  Com o compasso em uma abertura qualquer, desde que seja maior que a metade da medida do segmento de reta {a{b, traamos dois arcos: um com a ponta-seca do compasso em A e outro com a ponta-seca em B. Chamamos o ponto comum aos dois arcos de M.

_`[{a professora diz_`]
  "A reta {p{m  perpendicular a *r* e passa pelo ponto P."

<F->
           l
           l
          :r:P
           l
           l
     A    l     B
r :::w:::::r:::::w:::
          l      
          l   
          l  
         e:l:i
         Ml
           l
<F+>

 Fazer e aprender 

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 24. Carmem gostou muito da histria de Pitgoras. Ao dobrar uma folha, ela fez uma descoberta: conseguiu traar retas perpendiculares sem esquadros, rguas e compasso. Providencie uma folha de papel e descubra quais foram as dobras que ela fez.
<R->

_`[{a menina diz_`]
  "Eu dobrei a folha de papel e... ...apareceram ngulos retos!!!"

<R+>
 25. Copie este desenho _`[no adaptado_`] e, em seguida, trace uma reta perpendicular a *m* e que passe pelo ponto G.
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<26>
Seo + (mais)

 Retas perpendiculares

<R+>
  Copie este desenho em seu caderno e, em seguida, trace uma reta perpendicular a *t* e que passe pelo ponto R.

<F->
         R
t :::::::o:::::::: 
<F+>

  Com um compasso em uma abertura qualquer, coloque a ponta-seca em R e marque dois pontos na reta *t*: A e B.

<F->
t :::o:::::o:::::o:::: 
     A     R     B
<F+>

  Ajuste o compasso em uma abertura maior que a metade de ^c?{a{b*. Com a ponta-seca do compasso em A, trace um arco. 
<P>
  Faa o mesmo em relao ao ponto B. Chame o ponto comum s linhas de P.
  Qual  a posio de ~:,?{p{r* em relao  reta *t*?
  Compare os segmentos de reta ^c?{a{r* e ^c?{r{b* usando o compasso. O que voc pode verificar?
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 Mediatriz de um segmento de reta

  Desenhe em seu caderno um segmento de reta {m{p como este:

<F->
M o::::::::::::o P
<F+>

  Com o compasso em uma abertura maior que a metade da medida de ^c?{m{p*, trace dois arcos: um com centro em M e outro com centro em P. Chame os pontos comuns a esses arcos de A e B.

<R+>
 wr
  Trace a reta {a{b. Observe a figura que voc obteve: ~:,?{a{b* e ^c?{m{p* formam quatro ngulos congruentes. Qual  a medida de cada um desses ngulos?
  Em relao a esses ngulos, como nos referimos s retas ~:,?{a{b* e ^c?{m{p*?
  Chame de R o ponto comum s retas ~:,?{a{b* e ^c?{m{p*. O que ocorre com as medidas dos segmentos de reta ^c?{m{r* e ^c?{p{r*? Como  chamado o ponto R em relao a ^c?{m{p*?
<R->

_`[{o professor diz_`]
  "Voc poder desenhar ^c?{m{p* igual a este, maior ou menor que ele."

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<27>
<P>
  Na situao, observe que:

_`[{o menino diz_`]
  "^c?{m{p* e ~:,?{a{b* so perpendiculares."

_`[{a menina diz_`]
  "E a reta {a{b passa por R."

<F->
          l 
          o A  
          l    
          l      
          l       
          r:::     
       R l_- _       
M o-----v---#-----o P 
          l  
          l
          l
          l
          o B
          l
<F+>

  O ponto R que pertence ao segmento de reta {m{p divide-o em 
<P>
 dois segmentos de reta de medidas iguais. R  o ponto mdio de ^c?{m{p*.
  A reta {a{b  a mediatriz de ^c?{m{p*.

<R+>
 Mediatriz de um segmento de reta  a reta perpendicular  reta suporte desse segmento e que contm seu ponto mdio.
<R->

 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 26. Nesta figura _`[no adaptada_`], uma das retas  a mediatriz do segmento de reta {p{r. Identifique-a.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<P>
 27. Nesta figura, a reta *t*  a mediatriz do segmento de reta {x{y. Como denominamos o ponto H em relao a ^c?{x{y*?

<F->
            t
            l      
            l       
            l     
            lH      
--o--------v-----------o---
  X        l           Y  
            l
            l
            l
<F+>

 28. Lia e Teo so amigos. Teo convidou Lia para uma partida de vlei de praia. E l foi ela... Desenhe um segmento de reta como ^c?{x{y* e determine o ponto em que se encontra Lia.
<P>
 Lia est no ponto mdio de ^c?{x{y*.

<F->
!:::::::
l  casa _
l  da   _
l  Lia _
h:::::::j    Lia      Praia
    :::::::o::::::::o
    X                 Y
<F+>

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<28>
 29. Na figura _`[no adaptada_`], a reta *m*  a mediatriz de ^c?{a{b* e o ponto Y pertence a essa mediatriz.
 a) Use uma rgua e determine as medidas dos segmentos de reta {y{a e do {y{b. Qual  a relao entre as medidas de ^c?{y{a* e ^c?{y{b*?
<P>
 b) Em relao aos lados, como classificamos o tringulo {a{y{b?
 c) Copie essa figura, escolha outro ponto que pertena  mediatriz de ^c?{a{b*, que no seja o ponto mdio desse segmento, e chame-o de F. Qual  a relao entre as medidas dos segmentos de reta ^c?{f{a* e ^c?{f{b*?
 d) Em relao aos lados, como voc classificaria o tringulo {a{b{f?
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 Seo + (mais)

 Um lago hexagonal

  Este lago _`[no adaptado_`] foi construdo na cidade em que Pedro mora. Faa um desenho em seu caderno parecido com este, representando o lago. Nele h uma fonte 
<P>
 luminosa. Ser que voc consegue localiz-la?

_`[{a professora diz_`]
  "Aproveite as pistas!!!"

<R+>
  A fonte luminosa est na mediatriz de ^c?{m{n*.
  Ela tambm se encontra no cruzamento dessa mediatriz com a reta perpendicular a ^c?{r{s*, que passa pelo ponto A.
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

               ::::::::::::::::::::::::

<29>
5 -- Revendo circunferncias e 
  crculos

 Circunferncias

  Circunferncia: a figura perfeita!
  Foi dessa forma que Aristteles, um filsofo da Grcia Antiga, se referiu a esse tipo de figura.
  No estudo das formas e das linhas, as circunferncias e os crculos sempre chamaram a ateno da humanidade por serem considerados as figuras regulares e perfeitas. Logo surgiram muitas aplicaes dessas figuras e elas passaram a fazer parte do dia a dia.

<R+>
_`[{duas fotos seguidas por legenda_`]
 Legenda 1: Olhando de cima, as bordas desses tubos de papel formam circunferncias quase perfeitas. Voc pode fazer tubos como esses cortando pedaos de cartolina em formato retangular e colando duas bordas.
 Legenda 2: Quando jogamos algum objeto na superfcie da gua, formam-se vrios crculos -- todos com o mesmo centro. So crculos concntricos.
<R->
<P>
  Em seu caderno, desenhe com um compasso uma circunferncia qualquer. 
  Marque o centro da circunferncia e sobre ela marque mais trs pontos.
  Trace os segmentos de reta que unem o centro a esses pontos.

<R+>
 wr
  Com o compasso, compare as medidas desses segmentos de reta. O que voc pode verificar?
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<30>
  Os segmentos de reta que vo do centro at um ponto da circunferncia so raios da circunferncia. Podemos verificar que todos os raios tm medidas iguais, ou seja, so congruentes entre si.
<P>
 Vamos combinar

  Ao ler neste livro a expresso um raio, tenha em mente que se trata de um segmento de reta. Quando voc ler a expresso o raio, estaremos nos referindo  medida de todos os raios de uma circunferncia.

<R+>
 Uma circunferncia  formada por todos os pontos de um plano que esto a uma mesma distncia de um ponto fixo desse plano, que chamamos de centro.
<R->

  Veja outros elementos de uma 
  circunferncia:

<R+>
 Corda  um segmento de reta com extremidades em dois pontos da circunferncia.
 Dimetro  uma corda que contm o centro da circunferncia. A medida de um dimetro  o dobro da medida de um raio.
<R->
<P>
 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 30. Responda s questes:
 a) Quantos raios tem uma circunferncia?
 b) Qual  a maior corda de uma circunferncia?

_`[{para as atividades 31 e 32, pea orientao ao professor_`]

 31. Nesta circunferncia _`[no adaptada_`], identifique os segmentos de reta que so:
 a) raios;
 b) cordas;
 c) dimetros.

 32. Marque um ponto C e trace uma circunferncia de centro C e raios de 2,5 cm. Nessa circunferncia, desenhe cordas de:
<P>
 a) 3 cm 
 b) 5 cm 
 c) 6 cm
  possvel traar uma corda em todos os casos? Justifique sua resposta.

 33. Um dimetro de uma circunferncia mede 3,6 cm. Qual  a medida de um raio?
 34. Os raios de uma circunferncia medem 4,5 cm. Qual  a medida de um dimetro?

<31>
_`[{para as atividades de 35 a 40, pea orientao ao professor_`]

 35. Desenhe uma circunferncia de centro em O e trace uma corda de extremidades M e N, que no seja um dimetro. Voc pode afirmar que o tringulo {o{m{n  issceles? Justifique sua resposta.
<P>
 36. Desenhe uma circunferncia e trace um dos dimetros ^c?{a{b*. Desenhe uma reta perpendicular a ^c?{a{b* que passe pelo centro dessa circunferncia. Chame de X e Y os pontos de cruzamento dessa perpendicular com a circunferncia.
 a) Os pontos A, X, B e Y podem formar um polgono. Desenhe-o. Que polgono  esse?
 b) Observe o polgono que voc traou. Nele aparecem ^c?{a{b* e ^c?{x{y*. O que so esses segmentos de reta em relao ao polgono?
 c) O que podemos afirmar sobre as diagonais desse polgono?

 37. Teo est a 4 m de Cia. Cia est a 3,5 m de Tuca. Cia est a 5 m de Edu. Onde procurar Teo? Decalque estes pontos em seu caderno e use o compasso.
<P>
 38. Na circunferncia _`[no adaptada_`] esto marcados cinco pontos e desenhadas as cordas que tm uma das extremidades em M.
 a) Quantas cordas com extremidades nesses pontos podem ser traadas?
 b) E se fossem seis pontos?

 39. Nesta figura _`[no adaptada_`] temos duas circunferncias: uma de centro A e raio 1,6 cm e outra de centro B e raio 2,4 cm.
 a) Qual  a distncia do ponto C ao ponto R? E do ponto P ao ponto D?
 b) Existem pontos que esto, ao mesmo tempo, situados a 1,6 cm do ponto A e a 2,4 cm do ponto B. Quais so esses pontos?

 40. Sobre uma circunferncia de centro em C e raio de 13,4 cm,  marcado um ponto A. Se a 
<P>
  distncia do ponto A ao centro C for, em centmetros, `(3x-2,2`), qual  o valor de *x*?
<R->

 Troque ideias e resolva

  Desenhe em seu caderno uma circunferncia e chame o centro de O. Trace nela o dimetro ^c?{b{c* e marque um ponto A pertencente  circunferncia que no coincida com as extremidades desse dimetro.
<R+>
  Utilize um transferidor para medir os ngulos do tringulo {a{b{c obtido. Que tipo de tringulo ele  em relao aos ngulos?
  Desenhe outros trs tringulos do mesmo modo que voc desenhou o tringulo {a{b{c e mea os ngulos desses tringulos. Clas-
<P>
  sifique esses tringulos em relao os ngulos.
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<32>
 Seo + (mais)

 Uma surpresa para voc

  Rute estava concentrada em alguns desenhos: pegava a rgua, largava a rgua, pegava o compasso...

_`[{o menino diz_`]
  "O que ser que ela est aprontando?"

<R+>
 Pontos no colineares no pertencem  mesma reta.

  Para acabar com a curiosidade, faa como Rute:
 a) Desenhe em uma folha de papel trs pontos no colineares.
<P>
 b) Trace as mediatrizes dos segmentos formados pelos pontos que voc desenhou.
 c) O que ocorre com essas mediatrizes?
 d) Agora, ajuste o compasso com a abertura do ponto de encontro dessas mediatrizes a um dos pontos que voc desenhou.
 e) Coloque a ponta-seca do compasso no ponto de encontro das mediatrizes e...
  ... gire o compasso...
  ... SURPRESA!!!
 f) Qual foi a figura que voc obteve?
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<33>
 Comprimento de uma circunferncia

  A partir da frmula comprimento da circunferncia ~ medida do dimetro = ^p, ou seja, c~d=^p 
<P>
 podemos escrever as frmulas para o comprimento de uma circunferncia:

 c=^p.d
 d=2.r

 ou

 c=2.^p.r

  Na resoluo de problemas costumamos usar 3,1415 (com quatro ordens decimais) ou 3,14 (com duas ordens decimais) como valores aproximados para ^p.
  Vamos aplicar a frmula do comprimento de uma circunferncia e resolver alguns problemas.

 Use ^p^=3,14.

<R+>
 wr
  Se uma circunferncia tem 50,24 cm de comprimento, qual  a medida de seu raio?
<R->
<P>
 c=2.^p.r
 50,24=2.^p.r
 Equao do 1 grau.

 r=50,24~2.^p^=50,24~2.
  .3,14^=50,24~6,28^=8

  A medida de um raio dessa circunferncia , aproximadamente, 8 cm.

 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 41. O nmero ^p  o quociente entre duas medidas relacionadas a uma circunferncia. Que medidas so essas?
 42. Qual  a medida do dimetro de uma circunferncia cujo comprimento mede 12,5 cm?

 43. Mania de bolinha de gude! A brincadeira preferida de muitas crianas  a bolinha de gude. Existe um jogo, com regras prprias, em que se traa uma circunferncia com cerca de 3 palmos de dimetro. Ela limita a regio onde devem ficar as bolinhas de gude no jogo.
 a) Mea em centmetros seu palmo ou o de um colega.
 b) Qual  o permetro aproximado do crculo no qual ficam as bolinhas de gude? D sua resposta em centmetros.

 44. Desenhe uma circunferncia que tenha, aproximadamente, 28,6 cm de comprimento. Qual  a medida de um raio dessa circunferncia?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 45. Uma pista circular tem 90 m de raio. Quantos quilmetros uma pessoa ter percorrido aps dar 20 voltas nessa pista?
<R->

<34>
 Arcos

  Analise a situao a seguir.
  Cntia est em volta de um jardim todo gramado.
  H uma placa no jardim dizendo: No pise na grama. Ela est no ponto E e quer ir at o ponto F, mas sem pisar na grama. Cntia resolveu andar sobre a circunferncia _`[no adaptada_`].

<R+>
 wr
  De quantas maneiras Cntia pode fazer esse percurso?
  Que nome voc daria para esses percursos?
<R->

  Cntia poder fazer o percurso de duas maneiras:

<R+>
<F->
E     F
o     o

   o
   M
<F+>

 Percorrer de E a F passando por M. Chamamos esse percurso de arco {e{m{f, que  representado por ^:?{e{m{f*.

<F->
   N
   o
E     F
o     o
<F+>

 Percorrer de E a F passando por N. Chamamos esse percurso de arco {e{n{f, indicado por ^:?{e{n{f*.
<R->

  Observe que os arcos ^:?{e{m{f* e ^:?{e{n{f* tm as mesmas extremidades, mas nesse caso ^:?{e{m{f* representa um percurso menor que ^:?{e{n{f*.
  Quando as extremidades de um arco so tambm as extremidades de um dimetro, chamamos cada um dos arcos de semicircunferncia.
  Um ngulo com vrtice no centro de uma circunferncia  denominado 
<P>
 ngulo central. Os lados do ngulo determinam dois arcos nessa circunferncia.

<35>
 Crculos

  Considere os pontos destacados na circunferncia _`[no adaptada_`].

<R+>
 wr
  Quais so os pontos cujas distncias ao centro O so menores que a medida de um raio?
  Quais so os pontos cujas distncias ao centro O so iguais  medida de um raio?
  Quais so os pontos cujas distncias ao centro O so maiores que a medida de um raio?
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<P>
  Podemos identificar os pontos do plano de uma circunferncia em relao a ela da seguinte forma:
<R+>
  pontos internos: O, P e Q -- distncias ao centro O so menores que a medida de um raio.
  pontos externos: R e S -- distncias ao centro O so maiores que a medida de um raio.
  pontos da circunferncia: E, F, M e N -- distncias ao centro O so iguais  medida de um raio.
<R->

  A figura formada pelos pontos da circunferncia _`[no adaptada_`] e pelos pontos internos a ela  chamada de crculo.

 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
_`[{para as atividades de 46 a 50, pea orientao ao professor_`]

 46. Observe esta circunferncia _`[no adaptada_`] e descubra quais os arcos que tm como extremidades:
 a) os pontos R e T.
 b) os pontos P e Q.

 47. Nesta figura:
 a) identifique, em relao  circunferncia, os pontos internos e os pontos externos;
 b) mencione trs pontos que pertencem ao crculo.

 48. Desenhe uma circunferncia de raio 2,5 cm e centro M. Trace um ngulo central de 70 e destaque um dos arcos correspondentes a esse ngulo.

 49. Desenhe uma circunferncia de centro C e raio de 3 cm. Marque, em relao  circunferncia, um ponto interno A, diferente de C, e um ponto externo B.
<P>
 a) A distncia de C a A  maior ou menor que a medida de um raio?
 b) A distncia de C a B  maior ou menor que a medida de um raio?

 50. Desenhe uma circunferncia de centro C e raio de 5 cm. Indique por *x* a distncia de um ponto A qualquer ao centro dessa circunferncia. Relacione o valor de *x* e a medida 5 cm usando os smbolos *=*, *o* ou ** para estes casos:
 a) o ponto A est na circunferncia.
 b) o ponto A  externo  circunferncia.
 c) o ponto A  interno  circunferncia.

<36>
 51. Qual  o comprimento aproximado de uma semicircunferncia cujos raios medem 4 cm?
 52. Quantos metros de renda, aproximadamente, so necessrios para colocar em volta de uma toalha circular de 200 cm de dimetro?
 53. Quantas voltas d uma roda de uma moto para percorrer 9,42 km, se o dimetro da roda tem 60 cm?
 54. Uma praa circular tem 40 m de raio. Uma pessoa deu 12 voltas nessa praa. Quantos quilmetros ela caminhou?
 55. Os raios de duas circunferncias esto na razo de 2 para 5. Qual  a razo entre os comprimentos da circunferncia menor para a maior?
 56. Se os raios de uma circunferncia A medem o dobro dos raios de uma circunferncia B, quantas vezes o comprimento de A  maior que o comprimento de B?
 57. Os raios de duas cincunferncias esto na razo de 47. Se o comprimento da menor  10 cm, qual  o comprimento da circunferncia maior?

_`[Para as atividades 58 e 59, pea orientao ao professor_`]

 58. Em uma circunferncia _`[no adaptada_`] de 6 cm de raio, os pontos E e F determinam os arcos ^:?{f{n{e* e ^:?{e{m{f*. O comprimento do arco {f{n{e  o triplo do comprimento do arco {e{m{f. Quais so os comprimentos desses arcos?
 59. Em uma circunferncia de 2,5 cm de raio, os raios {c{a e {c{b so perpendiculares. Qual  o comprimento do arco {b{d{a?
<R->

 Troque ideias e resolva

  Trs moedas de R$1,00, em tamanho real, esto colocadas uma do lado da outra.
<R+>
  O comprimento *c* corresponde a quantos raios da moeda?
  Esse mesmo comprimento corresponde a quantos dimetros da moeda?
<P>
  Com o auxlio de uma rgua e uma moeda de R$1,00, verifique quantos centmetros mede, aproximadamente, cada dimetro dessa moeda.
  Qual  o valor aproximado de *c*?
  Qual  o valor aproximado da medida do comprimento de circunferncia da moeda de R$1,00?
  Qual  o quociente aproximado entre o valor que voc encontrou para a medida do comprimento da circunferncia da moeda e a medida de seu dimetro.
  Ao analisar todas as respostas encontradas, como voc relacionaria o comprimento da circunferncia de uma moeda com os dimetros das trs moedas colocadas uma do lado da outra?
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<37>
<P>
 Usando a calculadora

  Calcule a medida de um dos dimetros das circunferncias cujos comprimentos medem, aproximadamente:
  6,594 cm;
  25,8736 cm.

 Seo + (mais)

 Circunferncias grandes ou 
  pequenas: ^p  sempre o mesmo

  Voc duvida? Ento, faa um teste.
<R+>
  Aqui esto algumas circunferncias _`[no adaptadas_`]. Calcule o comprimento de cada uma. A medida dos raios  dada em centmetros.
<R->
<P>
_`[O professor diz_`]
  "Estas so concntricas, ou seja, tm o mesmo centro!"

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<R+>
 Calcule o valor de ^p para cada circunferncia.

  Compare os valores que voc encontrou com os valores encontrados pelos colegas.
  Agora responda: Quantos metros percorrer a roda dessa bicicleta, de aro 26, a cada volta completa?
<R->

_`[{o menino diz_`]
  "Aro 26. As rodas tm 26 polegadas de dimetro."

 Use 1 polegada =2,54 cm e 
  ^p^=3,14.

<38>
<P>
 Leitura + (mais)

 ^p: um nmero diferente...

  Segundo alguns historiadores, ^p  o nmero mais famoso da histria universal.
  ^p j era mencionado no Papiro de Rhind, um documento egpcio escrito por volta do ano 1650 a.C. Nele, considerou-se ^p igual a #;?!ha, ou aproximadamente 3,1604, um valor um pouco diferente do que usamos atualmente.
  Tsu Chung-Chih foi um matemtico chins que viveu por volta de 470. Em seu trabalho ele usou #:??aac, que  aproximadamente igual a 3,1415929. Esse  um valor bem mais prximo do que usamos hoje para ^p.
  Conhea o valor aproximado de ^p, com mais de 200 algarismos nas ordens decimais. Observe que, at o ltimo algarismo apresentado, esse nmero no  uma dzima peridica.

 ^p^=3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279
 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944
 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825
 342 117 067 982 148 086 513 282 306 647
 093 844 609 550 582 231 725 359 408 128
 481 117 450 284 102 701 938 521 105 559
 644 622 948 954 930 381 964 428 81

  David e Gregory Chudnovsky, da Universidade de Columbia, Nova York (EUA), chegaram a calcular o valor de ^p com 1.011.196.691 algarismos nas ordens decimais, usando um computador.
  Para escrev-los em folhas comuns, seriam necessrias cerca de 260.000 pginas!!!

<39>
<P>
 Reviso cumulativa e testes

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 1. Sabendo que o produto de dois nmeros naturais  igual a 120, responda s questes:
 a) Quais seriam esses nmeros?
 b) Se a soma desses nmeros fosse 34, quais seriam os nmeros?
 c) Se a soma deles fosse o menor possvel, quais seriam os nmeros?

 2. Em uma escola, os alunos do 6 ano A esto distribudos em 4 classes, como mostra a tabela:

<F->
!:::::::::::::::::::::::::::
l classe_ A  _ B  _ C  _ D  _
r:::::::w:::::w:::::w:::::w:::::w
l n.o de_     _     _     _     _
l alunos_ 42 _ 38 _ 35 _ 40 _
h:::::::j:::::j:::::j:::::j:::::j
<F+>
<P>
 Quantos grupos de 12 alunos podem ser formados? Quantos alunos sobram?

 3. Considerando os nmeros 15 e 50, responda s questes:
 a) Qual  o produto desses nmeros?
 b) Determine o m.m.c.`(15, #ej`).
 c) Calcule o m.d.c.`(15, #ej`).
 d) Calcule o produto do m.m.c.`(15, #ej`) por m.d.c.`(15, #ej`).
 e) O produto de 15 por 50  igual ao produto do m.m.c.`(15, #ej`) por m.d.c.`(15, #ej`)?
 f) Qual  a relao entre os resultados obtidos em *a* e em *d*?

 4. Qual  o valor do produto de *a* por *b*, se a=
  =m.m.c.`(12, #cj`) e b=m.d.c.`(5, #aj`)?
<P>
 5. Escreva estes nmeros racionais na forma decimal:
 a) #*ae 
 b) #:,f

 6. Na diviso de uma classe em equipes, #?ab formaram a equipe A, #:h, a equipe B, e #,ab, a equipe C. Sabendo que o nmero de alunos das equipes A, B e C somam 42 alunos, calcule:
 a) o nmero de alunos da classe;
 b) o nmero de alunos que no participaram de nenhuma das trs equipes.

 7. A Escola Rio Grande venceu um campeonato esportivo. Do total de medalhas em disputa, as alunas ganharam #,f e os alunos, #;e. As 13 medalhas restantes foram conquistadas por outras escolas.
 a) Que frao do total de medalhas foi conquistada por alunas e alunos da Escola Rio Grande?
<P>
 b) Que frao do total de medalhas foi conquistada por outras escolas?
 c) Quantas medalhas a Escola Rio Grande ganhou?
 d) Qual foi o total de medalhas distribudas no campeonato?

 8. Rosana fez seis provas de Matemtica e obteve as seguintes notas: 7,5, 6,5, 6,0, 5,5, 8,5, 8,0. Qual  a mdia aritmtica das notas de Rosana em Matemtica?
 9. Pensei em um nmero inteiro e multipliquei-o por 4. Do resultado subtra 30 e obtive -210. Que nmero  esse?
 10. Qual  o valor da expresso: ?2-1+2-2*~2-3?
 
_`[{para as atividades 11 e 12, pea orientao ao professor_`]

 11. Sobre uma folha de papel quadriculado, Pedro desenhou este tringulo {s{n{m _`[no adaptado_`]. Calcule o permetro desse tringulo.

 12. Usando rgua e compasso, desenhe um tringulo retngulo cujos catetos medem 2 cm e 3 cm.
 a) Qual  o nmero no racional representado na reta numerada _`[no adaptada_`] pela medida da hipotenusa desse tringulo retngulo?
 b) Com uma calculadora, obtenha um valor aproximado desse nmero no racional.

<40>
 13. Se os comprimentos de duas circunferncias esto na razo de 3 para 4, calcule a razo entre o dimetro da circunferncia maior e o da menor.

_`[{para as atividades de 14 a 18, pea orientao ao professor_`]

 14. Observe a circunferncia do centro O e raio igual a 1,2 cm 
<P>
  e os pontos destacados na figura _`[no adaptada_`]:
 a) Qual  a distncia do centro O ao ponto R?
 b) Qual  o ponto cuja distncia ao centro O  maior que 1,2 cm?

 15. Nesta circunferncia _`[no adaptada_`], os dimetros ^c?{a{b* e ^c?{c{d* so perpendiculares e medem 16 mm.
 a) Quais so as medidas dos ngulos centrais :?{a{o{d* e :?{c{o{b?
 b) Quais so as medidas, em milmetros, dos arcos ^:?{d{e{a* e ^:?{c{f{b*?

 16. Os arcos ^:?{a{b{c*, ^:?{c{d{e* e ^:?{e{f{a* tm o mesmo comprimento. Se o raio da circunferncia _`[no adaptada_`] medisse 0,5 m, qual seria o comprimento, em metros, de cada um dos arcos?

 17. Para construir um grfico de setores com informaes em porcentagens, usamos um crculo que representa a totalidade do grupo pesquisado, ou seja, 100% dele.

_`[{figuras no adaptadas_`]

 100%; #,b"100%=50%; #,e"100%; #,af"100%.

 a) Qual  a medida do ngulo central correspondente a 50%?
 b) Qual  a porcentagem correspondente a #,e"100%? E qual  a medida do ngulo central correspondente a essa porcentagem?
 c) Qual  a porcentagem correspondente a #,af"100%? E qual  a medida do ngulo central correspondente a essa porcentagem?

 18. Nesta figura, o ponto A  o ponto mdio de ^c?{m{r* e o ponto B, o ponto mdio de ^c?{r{s*.

<F->
        A            B    S
o::::::o::::::o::::o::::o
M              R
<F+>

 a) Utilize uma rgua e determine as medidas dos segmentos de reta ^c?{m{r* e ^c?{r{s*.
 b) Qual  a medida de ^c?{a{b*?
 c) Qual  o valor de ?med ^c?{m{r*+med ^c?{r{s*~2?
 d) Na sua opinio, o que aconteceu com as medidas dos segmentos de reta ^c?{m{r* e ^c?{r{s* vale tambm para os outros dois segmentos de reta que estiverem nas mesmas condies que ^c?{m{r* e ^c?{r{s*? Verifique com exemplos.

 19. Nesta figura, M e P so os pontos mdios de ^c?{l{t* e ^c?{t{u*, respectivamente. Se *x* e *y* representam as medidas desses segmentos de reta, qual  a medida de ^c?{m{p*?

<F->
        x               y
  ::::::::::::::  ::::::::::::: 
::o:::::o:::::o:::::o:::::o::
  L     M     T     P     U
<F+>

 20. Entre os nmeros 1, 7, 9, 31, 37 e 87, so primos os nmeros:
 a) 1, 7 e 31. 
 b) 1, 9 e 37. 
 c) 9, 31 e 37.
 d) 7, 31 e 37.

 21. O mnimo mltiplo comum entre dois nmeros naturais  120 e o mximo divisor comum, 3. O produto desses nmeros :
 a) 3 
 b) 120 
 c) 360 
 d) 600

 22. A diferena entre o quadrado de 12 e o dobro de 12 :
 a) 144 
 b) 120 
<P>
 c) 24
 d) 12

 23. A expresso N=5.103+
  +4.101+8  uma forma decomposta do nmero natural:
 a) 5.048 
 b) 5.148 
 c) 548
 d) 540

<41>
 24. O produto de dois nmeros racionais  igual a 1. Se um deles  #=ae, o valor do outro :
 a) #,ae 
 b) #,g 
 c) 1 
 d) #,?g

 25. `(-35`)0  igual a:
 a) -35
 b) 0 
 c) 1
 d) 35
<P>
 26. Entre os nmeros que podem ser medidas dos lados de um tringulo retngulo esto:
 a) 16, 30 e 34. 
 b) 30, 40 e 60. 
 c) 10, 24 e 30.
 d) 5, 12 e 15.

 27. Neste tringulo retngulo, as medidas esto indicadas em centmetros. 

<F->  
   
   le
   l  e
   l    e
   l      e  
2 l        e
   l          e
   r:::       e
   l_- _         e
   v---#-----------o 
          5       
<F+>

 O nmero no racional representado na reta numerada pela medida da hipotenusa desse tringulo :
<P>
 a) 7 
 b) 29 
 c) 7
 d) 29

 28. (Prova Brasil) Observe esta figura, que representa uma escada apoiada em uma parede que forma um ngulo reto com o solo. O topo da escada est a 7 m de altura e seu p est afastado 2 m da parede.

<F->
       
       l
parede l 
       l  
       l     
       l    
       l     
       l      
       l       
   ----v------------ solo 
                 
<F+>
<P>
 A escada mede, aproximadamente:
 a) 5 m 
 b) 6,7 m 
 c) 7,3 m
 d) 9 m

 29. O nmero ^p  o quociente entre:
 a) o comprimento de uma circunferncia e a medida de seu dimetro.
 b) a medida do dimetro de uma circunferncia e seu comprimento.
 c) o comprimento de uma circunferncia e a medida de seu raio.
 d) a medida do raio de uma circunferncia e seu comprimento.

 30. A razo entre dimetro e o raio de uma circunferncia :
 a) #,d 
 b) #,b
 c) 2
 d) 4
<P>
 31. Em uma circunferncia de centro C e raio 8,4 cm, o ponto A  externo a essa circunferncia. A distncia do ponto A ao centro dessa circunferncia :
 a) maior que 8,4. 
 b) menor que 8,4. 
 c) igual a 8,4.
 d) igual a 4,2.

 32. Nesta circunferncia _`[no adaptada_`], {d{e  um dimetro. O tringulo {c{d{e :
 a) issceles.
 b) equiltero.
 c) retngulo.
 d) obtusngulo.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 33. (Prova Brasil) Exatamente no centro de uma mesa redonda com 1 m de raio, foi colocado um prato de 30 cm de dimetro, com doces e salgados para uma festa de final de ano. Qual a distncia entre a borda desse prato e a borda da mesa?
 a) 115 cm 
 b) 85 cm 
 c) 70 cm
 d) 20 cm

 34. (Cesgranrio) Um botijo de 13 kg de gs de cozinha (GLP)  vendido por R$30,58. Esse preo  composto de trs partes: distribuio e revenda, tributos e preo de custo. Se o valor de distribuio e revenda superar em R$1,77 o preo de custo e o preo de custo superar em R$5,09 a parte correspondente aos tributos, qual ser em reais, o preo de custo de um botijo de 13 kg?
 a) 11,30 
 b) 11,54 
<P>
 c) 12,36
 d) 12,49
<R->

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

Fim da Primeira Parte